Dalam dunia matematika, permutasi menjadi salah satu konsep yang sering dijumpai, terutama dalam pelajaran matematika tingkat sekolah menengah. Permutasi menggambarkan berbagai cara pengurutan elemen dari suatu himpunan. Meskipun terlihat rumit bagi sebagian orang, pemahaman tentang permutasi dapat sangat bermanfaat, terutama dalam berbagai konteks di kehidupan sehari-hari. Berikut ini adalah lima contoh soal permutasi yang dapat membantu pemahaman kita lebih dalam tentang topik ini.
Pertama, definisi dasar dari permutasi adalah pengaturan elemen yang memerhatikan urutan. Dalam bentuk rumus, permutasi sekumpulan elemen ( n ) diambil secara bersamaan disebut ( nPn = n! ), di mana ( n! ) adalah hasil kali seluruh bilangan bulat positif sampai ( n ). Misalnya, jika ada kata "SAPU" yang terdiri dari empat huruf, banyak cara untuk menyusunnya adalah:
- Contoh Soal 1: Hitung banyaknya susunan huruf dari "SAPU".
Jawaban: ( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 )
Jadi, ada 24 macam susunan huruf yang dapat dibentuk.
Selanjutnya, kita masuk ke situasi di mana kita memilih ( r ) elemen dari ( n ) elemen. Rumus yang digunakan adalah ( nPr = \frac{n!}{(n-r)!} ).
- Contoh Soal 2: Tentukan banyaknya permutasi yang terjadi jika disusun tiga huruf dari abjad A, B, C, D, E.
Jawaban:
Menggunakan rumus, ( 5P3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{1} = 60 ).
Kemudian, kita juga dapat memiliki permutasi dengan elemen yang sama. Jika dalam suatu himpunan ada beberapa elemen yang identik, kita akan mengalikan ( n! ) dengan faktor dari elemen yang sama itu.
- Contoh Soal 3: Berapa banyak permutasi kata "EMBER"?
Jawaban: Fasilitasi pada jumlah total huruf 5, dengan tidak ada huruf yang sama. Jadi, ( 5! = 120 ).
Selanjutnya, untuk situasi di mana ada beberapa unsur yang sama, rumus yang digunakan adalah ( \frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_r!} ).
- Contoh Soal 4: Banyaknya permutasi pada kata "MANTAN" yang memiliki dua huruf "A".
Jawaban: ( \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360 ).
Permutasi tidak hanya terbatas pada urutan linear, tetapi juga bisa dalam bentuk melingkar. Dalam konteks ini, rumus yang digunakan adalah ( (n-1)! ).
- Contoh Soal 5: Dengan berapa cara dapat 4 orang duduk di meja makan melingkar?
Jawaban:
( P = (n-1)! )
( P = (4-1)! = 3! = 6 ).
Dalam kesimpulan, meskipun konsep permutasi dapat membingungkan pada awalnya, dengan latihan dan pemahaman yang benar, soal-soal yang melibatkan permutasi bisa diselesaikan dengan mudah. Berlatih dengan berbagai jenis soal tidak hanya membantu dalam memahami materi, tetapi juga dapat meningkatkan kemampuan berpikir logis dan analitis dalam menyelesaikan masalah sehari-hari. Melalui contoh-contoh di atas, diharapkan dapat memberikan pemahaman lebih mendalam mengenai cara menghitung permutasi dengan benar.
